Задание
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, A1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 8.
Решение
В основаниях призмы лежат правильные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со стороной $a$, площадь которых равна 6. По свойствам правильного треугольника $$ S_{\text{пр.треуг.}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\ \Leftrightarrow \ a^2=\frac{24}{\sqrt{3}} $$ Фигура $ABA_1C_1$ является пирамидой, в основании которой лежит прямоугольный треугольник $ABA_1$, площадь которого равна $$ S_{ABA_1}=\frac{AA_1\cdot A_1B_1}{2}=4\cdot a $$ Высотой пирамиды $ABA_1C_1$ является высота $C_1D$ правильного треугольника $A_1B_1C_1$, которая вычисляется по формуле $$ C_1D=\frac{\sqrt{3}}{2}a $$ По свойствам пирамиды, объем пирамиды $ABA_1C_1$ равен $$ V_{ABA_1C_1}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABA_1}\cdot C_1D=\frac{4\sqrt{3}}{6}\cdot a^2=16$$
Ответ: 16.