Задание
Объем тетраэдра равен 1,8. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра.
Решение
Найдем объем искомого многогранника как разность объемов тетраэдра $ABCD$ и маленьких тетраэдров $AKPO$, $KLBN$, $MNOD$ и $LPCM$ $$ V=V_{ABCD}-V_{AKPO}-V_{KLBN}-V_{MNOD}-V_{LPCM} $$ Тетраэдр является частным случаем пирамиды, поэтому его объем можно находить с помощью формулы объема пирамиды $$ V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot h=\frac{1}{6}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin\angle(AB,BC) \cdot AD\cdot\sin\angle(AD,ABC) $$ Каждый из маленьких тетраэдров $AKPO$, $KLBN$, $MNOD$, $LPCM$ подобен большому тетраэдру $ABCD$ и имеет стороны, меньшие сторон тетраэдра $ABCD$ в 2 раза. Следовательно $$ \frac{V_{\text{мал. тетраэдра}}}{V_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{6}\cdot \frac{AB}{2}\cdot \frac{BC}{2}\cdot\sin\angle(AB,BC) \cdot \frac{AD}{2}\cdot\sin\angle(AD,ABC)}{\frac{1}{6}\cdot AB\cdot BC\cdot\sin\angle(AB,BC) \cdot AD\cdot\sin\angle(AD,ABC)}=\frac{1}{8} $$ Следовательно $$ V=V_{ABCD}-4\cdot V_{\text{мал. тетраэдра}}=V_{ABCD}-4\cdot\frac{1}{8}\cdot V_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot V_{ABCD}=0.9 $$
Ответ: 0.9.