Задание
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 7, а угол между боковой гранью и основанием равен 45. Найдите объем пирамиды.
Решение
В основании пирамиды находится правильный шестиугольник со стороной 7, так что по свойствам правильного шестиугольника $$ S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 7^2=\frac{147\sqrt{3}}{2}$$ Кроме того, по свойствам правильного шестиугольника $$ OM=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 7 $$ Треугольник $SOM$ прямоугольный, при этом угол $SMO$ является углом между боковой гранью пирамиды и ее основанием, следовательно $$ \operatorname{tg} SMO=\operatorname{tg} 45^{\circ}=\frac{SO}{OM} $$ Откуда $$ SO=OM\cdot \operatorname{tg} 45=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 7 $$ По свойствам пирамиды $$ V_{SABCDEF}=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{147\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 7=257.25 $$
Ответ: 257.25.