Задание
Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 8, а боковые ребра равны $4\sqrt{3}$ и наклонены к плоскости основания под углом 30.
Решение
В основании призмы находится правильный шестиугольник со стороной 8, так что, по свойствам правильного шестиугольника $$ S_{ABCDEF}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 8 $$ Опустим высоту $B_1M$ на плоскость $ABC$. Угол $B_1BM$ является углом между плоскостью основания $ABC$ и боковым ребром $BB_1$, следовательно $$ \angle B_1BM=30^{\circ} $$ Из прямоугольного треугольника $B_1BM$ $$ \sin B_1BM=\sin 30=\frac{B_1M}{B_1B} $$ Откуда $$ B_1M=B_1B\cdot \sin 30=4\sqrt{3}\cdot 0.5 $$ По свойствам призмы, ее объем равен произведению площади ее основания на ее высоту. $B_1M$ является высотой данной призмы, следовательно $$ V_{ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1}=S_{ABCDEF}\cdot B_1M=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 8\cdot 4\sqrt{3}\cdot 0.5=72 $$
Ответ: 72.