Задание
Площадь поверхности тетраэдра равна 3. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины ребер данного тетраэдра.
Решение
Фигура $POMLKN$, площадь поверхности которой которой нам нужно найти, состоит из 8 треугольных граней $NOK$, $NKL$, ..., $POM$. Треугольник $ONK$ состоит из средних линий треугольника $ADB$, поэтому площадь поверхности $ONK$ равна $$ S_{ONK}=S_{ADB}-S_{AOK}-S_{ODN}-S_{NKB}=S_{ADB}-3\cdot\frac{1}{4}\cdot S_{ADB}=\frac{1}{4}\cdot S_{ADB} $$ Рассуждая аналогичным образом $$ S_{NML}=\frac{S_{DBC}}{4},\ S_{OMP}=\frac{S_{DAC}}{4},\ S_{PKL}=\frac{S_{ABC}}{4} $$ Треугольник $PML$ равен треугольнику $DON$, поэтому, по свойствам средней линии $$ S_{PML}=\frac{S_{ADB}}{4} $$ Рассуждая аналогично, получаем $$ S_{KNL}=\frac{S_{DAC}}{4},\ S_{OPK}=\frac{S_{DBC}}{4},\ S_{OMN}=\frac{S_{ABC}}{4} $$ Следовательно $$ S_{POMLKN}=\frac{S_{ADB}+S_{DBC}+S_{DAC}+S_{ABC}}{4}+\frac{S_{ADB}+S_{DBC}+S_{DAC}+S_{ABC}}{4}=\frac{S_{ABCD}}{4}+\frac{S_{ABCD}}{4}=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=1.5 $$
Ответ: 1.5.
Аналогичные задачки
См. также
- Решение задачки на сайте ucheba.pro