Задание
Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U=U_0 \cos(wt+\varphi)$, где t — время в секундах, амплитуда $U_0=2$ В, частота $w=240^{\circ}$ /с, фаза $\varphi=-120^{\circ}$. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?Решение
Подставим в исходную функцию известные нам значения $$ U=2 \cos(240\cdot t-120) $$ Лампочка горит тогда, когда $$ U \geq 1 $$ $$ \cos(240\cdot t-120) \geq \frac{1}{2} $$ $$ 60 \geq 240\cdot t-120 \geq -60 $$ $$ \frac{3}{4} \geq t \geq \frac{1}{4} $$ Получается, что в течение первой секунды лампочка не будет гореть в течение первой четверти это секунды, после чего она будет гореть в течение следующих двух четвертей, и, в конечном итоге, снова погаснет на последнюю четверть секунды. Приходим к заключению, что в течение первой секунды лампочка будет гореть 50% времени.
Ответ: 50.
Аналогичные задачки
- Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону $v(t)=5\sin \frac{\pi t}{4}$ (см/с), где t — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.