Задание
Найдите наименьшее значение функции на отрезке [16;22] $$ y=(2x^2-40x+40)e^{x-18} $$Решение
1) Находим точки экстремума функции:
Берем производную от $y$ $$ y'=(4x-40)e^{x-18}+(2x^2-40x+40)e^{x-18} $$ Приравниваем производную к 0 $$ e^{x-18}(4x-40+2x^2-40x+40)=0 $$ Откуда с учетом принадлежности $x$ интервалу [16;22] получаем единственную точку экстремума $$ x=18 $$
2) Решаем задачу:
Наибольшее значение функции достигается либо в какой-то из ее точек экстремума, либо на ее границе $$ \left\{\begin{gather} y(16)=(2\cdot 16^2-40\cdot16+40)e^{-2} \\ y(18)=(2\cdot 18^2-40\cdot18+40)e^{0}=(648-720+40)\cdot1=-32 \\ y(20)=(2\cdot 20^2-40\cdot20+40)e^{2} \end{gather}\right. $$ Решениями части В не могут быть числа с бесконечным количеством знаков после запятой (если нас не попросили округлить количество знаков в ответе). Поэтому, решениями данной задачи не могут быть $y(16)$ и $y(20)$, содержащие $e$. Таким образом, решением данной задачи является $$y_{\text{наим.}}=y(18)=-32$$
Ответ: -32.