Задание
Найдите точку максимума функции $$ y=1.5x^2-42x+135\cdot\ln x-4 $$Решение
ОДЗ: $x>0$ 1) Находим точки экстремума функции $y$:
Берем производную от $y$ $$ y'=3x-42+\frac{135}{x} $$ Приравниваем производную к 0 $$ 3x-42+\frac{135}{x}=0 $$ Откуда получаем точки экстремума $$ x=5,\ x=9 $$
2) Решаем задачу:
Берем вторую производную от функции $$ y''=3-\frac{135}{x^2} $$ Смотрим на знак второй производной в точках экстремума $$ \left\{\begin{gather} y''(5)=3-\frac{135}{5^2}=-2.4<0 \\ y''(9)=3-\frac{135}{9^2}=\frac{4}{3}>0 \end{gather}\right. $$ В точке $x=5$ знак второй производной отрицателен, в точке $x=9$ знак второй производной положителен. Следовательно, точка $x=5$ является точкой локального максимума, точка $x=9$ является точкой локального минимума. Делаем вывод, что точкой максимума будет точка $$ x_{max}=5 $$
Ответ: 5.