Задание
Найдите наименьшее значение функции $$ y=\sqrt{x^2+2x+65} $$Решение
ОДЗ: $x^2+2x+65\geq0\ \Leftrightarrow \ x\ \text{любой}$ 1) Находим точки экстремума функции $y$:
Берем производную от $y$ $$ y'=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x+65}} $$ Приравниваем производную к 0 $$ \frac{1}{2}\cdot\frac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x+65}}=0 $$ Откуда получаем точку экстремума $$ x=-1 $$
2) Решаем задачу:
Берем вторую производную от функции $$ y''=\frac{1}{2}\cdot(\frac{2\cdot\sqrt{x^2+2x+65}-\dfrac{(2x+2)\cdot(2x+2)}{\sqrt{x^2+2x+65}}}{x^2+2x+65})$$ Смотрим на знак второй производной в точке экстремума $$ y''(-1)=\frac{1}{2}\cdot(\frac{2\cdot8-0}{64})>0 $$ Следовательно, точка $x=-1$ является точкой минимума, а значит, в ней достигается наименьшее значение функции $$ y(-1)=\sqrt{(-1)^2-2+65}=8 $$
Ответ: 8.