Задание
Найдите наибольшее значение функции $$ y=\log_7 (-42-14x-x^2)-6 $$Решение
ОДЗ: $-42-14x-x^2>0\ \Leftrightarrow \ -7-\sqrt{7}
Берем производную от $y$ $$ y'=\frac{-14-2x}{(-42-14x-x^2)\cdot \ln 7} $$ Приравниваем производную к 0 $$ \frac{-14-2x}{(-42-14x-x^2)\cdot \ln 7}=0 $$ Откуда получаем точку экстремума $$ x=-7 $$
2) Решаем задачу:
Берем вторую производную от функции $$ y''=\frac{-2\cdot((-42-14x-x^2)\cdot \ln 7)-(-14-2x)\cdot((-14-2x)\cdot \ln 7)}{((-42-14x-x^2)\cdot \ln 7)^2} $$ Смотрим на знак второй производной в точках экстремума $$ y''(-7)=\frac{-2\cdot((-42-14\cdot-7-(-7)^2)\cdot \ln 7)-0}{((-42-14\cdot-7-(-7)^2)\cdot \ln 7)^2}<0 $$ Следовательно, точка $x=-7$ является точкой максимума, а значит, в ней достигается максимальное значение $$ y(-7)=\log_7 (-42+14\cdot7-(-7)^2)-6=-5 $$
Ответ: -5.