Задание
Найдите точку минимума функции $$ y=-\frac{x}{x^2+9} $$Решение
1) Находим точки экстремума функции $y$:
Берем производную от $y$ $$ y'=-\frac{1\cdot(x^2+9)-x\cdot2x}{(x^2+9)^2} $$ Приравниваем производную к 0 $$ -\frac{1\cdot(x^2+9)-x\cdot2x}{(x^2+9)^2}=0$$ Откуда получаем точки экстремума $$ x=\pm3 $$
2) Решаем задачу:
Берем вторую производную от функции $$ y''=(\frac{x^2-9}{(x^2+9)^2})'=\frac{2x(x^2+9)^2-(x^2-9)\cdot2\cdot(x^2+9)\cdot2x}{(x^2+9)^4} $$ Смотрим на знак второй производной в точках экстремума $$ \left\{\begin{gather} y''(3)=\frac{2\cdot3(3^2+9)^2-0}{(3^2+9)^4}>0 \\ y''(-3)=\frac{2\cdot-3(3^2+9)^2-0}{(3^2+9)^4}<0 \end{gather}\right. $$ Делаем вывод, что точка $x=3$ является точкой локального минимума, точка $x=-3$ является точкой локального максимума. Значит, искомой точкой минимума является точка $$ x_{min}=3 $$
Ответ: 3.