Задание
Найдите точку максимума функции принадлежащую промежутку $(0;\frac{\pi}{2})$ $$ y=(4x-6)\cos x-4\sin x+14 $$Решение
1) Находим точки экстремума функции $y$:
Берем производную от $y$ $$ y'=4\cos x-(4x-6)\cdot \sin x-4\cos x=-(4x-6)\cdot \sin x $$ Приравниваем производную к 0 $$ -(4x-6)\cdot \sin x=0 $$ Откуда получаем единственную точку экстремума для интервала $(0;\frac{\pi}{2})$ $$ x=\frac{3}{2} $$
2) Решаем задачу:
Берем вторую производную от функции $$ y''=-4\sin x-(4x-6)\cos x $$ Смотрим на знак второй производной в точке экстремума $$ y''(\frac{3}{2})=-4\sin \frac{3}{2}-0<0 $$ Знак второй производной в точке $x=\frac{3}{2}$ отрицателен, значит, эта точка является точкой локального максимума $$x_{max}=\frac{3}{2}$$
Ответ: $1.5$.