Задание
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [2;32] $$ y=(x-33)^2e^{x-31} $$Решение
1) Находим точки экстремума функции $y$:
Берем производную от $y$ $$ y'=2(x-33)\cdot e^{x-31}+(x-33)^2\cdot e^{x-31} $$ Приравниваем производную к 0 $$ 2(x-33)\cdot e^{x-31}+(x-33)^2\cdot e^{x-31}=0 $$ Откуда получаем точки экстремума $$ x=31,\ x=33\notin [2;32] $$
2) Решаем задачу:
Наибольшее значение функции достигается либо в какой-то из ее точек экстремума, либо на ее границе $$ \left\{\begin{gather} y(2)=\frac{961}{e^{29}} \\ y(31)=4 \\ y(32)=e \end{gather}\right. $$ Решениями части В не могут быть числа с бесконечным количеством знаков после запятой (если нас не просили округлить полученный ответ в условии задачи). Поэтому, решениями данной задачи не могут быть $y(2)$ и $y(32)$, содержащие $e$. Таким образом, решением данной задачи является $$y_{\text{наиб.}}=y(31)=4$$
Ответ: 4.