Задание
Найдите наибольшее значение функции на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$ $$ y=16\sqrt{3}\cos x+8\sqrt{3}x-\frac{4\sqrt{3}\pi}{3}+14 $$Решение
1) Находим точки экстремума функции:
Берем производную от $y$ $$ y'=-16\sqrt{3}\sin x+8\sqrt{3} $$ Приравниваем производную к 0 $$ -16\sqrt{3}\sin x+8\sqrt{3}=0 $$ Откуда с учетом принадлежности $x$ интервалу $[0;\frac{\pi}{2}]$ получаем единственную точку экстремума $$ x=\dfrac{\pi}{6} $$
2) Решаем задачу:
Наибольшее значение функции достигается либо в какой-то из ее точек экстремума, либо на ее границе $$ \left\{\begin{gather} y(0)=16\sqrt{3}+(-\dfrac{4\sqrt{3}\pi}{3}+14) \\ y(\dfrac{\pi}{6})=16\sqrt{3}\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{8\sqrt{3}\pi}{6}+(-\dfrac{4\sqrt{3}\pi}{3}+14)=38 \\ y(\dfrac{\pi}{2})=0+\dfrac{8\sqrt{3}\pi}{2}+(-\dfrac{4\sqrt{3}\pi}{3}+14) \end{gather}\right. $$ Наибольшим из этих значений является значение $$ y_{\text{наиб.}}=y(\dfrac{\pi}{6})=38 $$
Ответ: 38.