Задание
Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-11.5;0] $$ y=11x-\ln (x+12)^{11} $$Решение
1) Находим точки экстремума функции:
Берем производную от $y$ $$ y'=11-\dfrac{11\cdot(x+12)^{10}}{(x+12)^{11}}=11\cdot\frac{x+11}{x+12} $$ Приравниваем производную к 0 $$ 11\cdot\dfrac{x+11}{x+12}=0 $$ Откуда получаем точку экстремума $$ x=-11 $$
2) Решаем задачу:
Наименьшее значение функции достигается либо в какой-то из ее точек экстремума, либо на ее границе $$ \left\{\begin{gather} y(-11.5)=11\cdot -11.5-11\cdot\ln0.5 \\ y(0)=-\ln12\cdot 11 \\ y(-11)=11\cdot -11=-121 \end{gather}\right. $$ Наименьшим из этих значений является значение $$ y_{\text{наим.}}=y(-11)=-121 $$
Ответ: -121.