Задание
Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;5] $$ y=x^3-48x+11 $$Решение
1) Находим точки экстремума функции:
Берем производную от функции $$ y'=3x^2-48 $$ Приравниваем производную к 0 $$ x^2=16 $$ Откуда с учетом принадлежности $x$ интервалу [0;5] получаем одну точку экстремума $$ x=4 $$
2) Решаем задачу:
Наименьшее значение функции достигается либо в какой-то из ее точек экстремума, либо на ее границе $$ \left\{\begin{gather} y(0)=11 \\ y(5)=125-240+11=-104 \\ y(4)=64-192+11=-117 \end{gather}\right. $$ Наименьшим из этих значений является значение $$y_{\text{наим.}}=y(4)=-117$$
Ответ: -117.