Задание
Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;93] $$ y=\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-9x+8 $$Решение
ОДЗ: $x\geq0$ 1) Находим точки экстремума функции:
Берем производную от $y$ $$ y'=\sqrt{x}-9 $$ Приравниваем производную к 0 $$ \sqrt{x}-9=0 $$ Откуда получаем единственную точку экстремума $$ x=81 $$
2) Решаем задачу:
Наименьшее значение функции достигается либо в какой-то из ее точек экстремума, либо на ее границе $$ \left\{\begin{gather} y(0)=8 \\ y(81)=-235 \\ y(93)\simeq -231.1 \end{gather}\right. $$ Наименьшим из этих значений является значение $$ y_{\text{наим.}}=y(81)=-235 $$
Ответ: -235.