Задание
Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:7:9. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 20.
Дано
- $ABCD$ — четырехугольник, описанный вокруг окружности
- $P_{ABCD}=20$ — периметр $ABCD$
- $AB:AD:CD=1:7:9$
- $CD$ — ?
Решение
Согласно свойствам вписанной в четырехугольник окружности, окружность можно вписать в четырехугольник только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны $$ AB+CD=AD+BC $$ Также нам известно, что $$ AB+CD+AD+BC=20 $$ С учетом того, что $AD=7\cdot AB$ и $CD=9\cdot AB$, получаем систему уравнений с двумя неизвестными $$ \left\{\begin{gather} AB+9\cdot AB=7\cdot AB+BC \\ AB+9\cdot AB+7\cdot AB+BC=20 \end{gather}\right. $$ Решая эту систему уравнений, получаем $$ AB=1 $$ Следовательно $$ CD=9\cdot AB=9 $$
Ответ: 9.