Задание
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 40. Найдите радиус окружности.
Дано
- $ABCD$ — описанная около окружности трапеция
- $P_{ABCD}=100$
- $BC=40$
- $r_{\text{окружности}}$ — ?
Решение
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда $$ AB+DC=AD+BC $$ Периметр трапеции равен $$ P_{ABCD}=AB+DC+AD+BC=100 $$ Решаем систему из этих двух уравнений с учетом того, что $BC=40$, и получаем $$ AD=10,\ AB+DC=50 $$ Так как трапеция $ABCD$ прямоугольна, $AD$ является ее высотой. Согласно свойствам трапеции, ее площадь равна $$ S_{ABCD}=\frac{AB+DC}{2}\cdot AD=\frac{50}{2}\cdot 10=250 $$ Согласно свойствам вписанной в многоугольник окружности $$ r_{\text{окружности}}=\frac{S_{ABCD}}{0.5\cdot P_{ABCD}}=\frac{250}{50}=5 $$
Ответ: 5.