Задание
В треугольнике ABC угол C равен 90 градусам, тангенс внешнего угла при вершине A равен $-\frac{8}{15}$, BC=2. Найдите AB.
Дано
- $ABC$ — прямоугольный треугольник
- $\operatorname{tg} DAB=-\frac{8}{15}$
- $BC=2$
- $AB$ — ?
Решение
Угол $CAD$ равен 180 градусам, следовательно $$ \angle CAB=180-\angle DAB $$ Используя формулы приведения, получаем $$ \operatorname{tg} CAB=\operatorname{tg}(\pi-\angle DAB)=-\operatorname{tg} DAB=\frac{8}{15} $$ Из прямоугольного треугольника ABC $$ \operatorname{tg} CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{\sqrt{AB^2-BC^2}} $$ Следовательно $$ \frac{8}{15}\cdot \sqrt{AB^2-2^2}=2 $$ Решаем уравнение и получаем $$ AB=4.25 $$
Ответ: 4.25.