Задание
Прямая $y=-9x$ является касательной к графику функции $24x^2+bx+6$. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.Решение
Раз прямая $y=-9x$ является касательной к графику функции $y=24x^2+bx+6$, у этой прямой и графика функции только одна точка касания. Пусть координаты этой точки касания равны $x_0,\ y_0$. В точке касания выполняются равенства $$ \left\{\begin{gather} y_0=-9x_0 \\ y_0=24x_0^2+bx_0+6 \end{gather}\right. $$ Откуда $$ -9x_0=24x_0^2+bx_0+6 $$ $$ 24x_0^2+(b+9)x_0+6=0 $$ Дискриминант уравнения $24x_0^2+(b+9)x_0+6=0$ должен быть равен 0, потому что в случае, если он будет больше 0, это будет означать, что функции $y=-9x$ и $y=24x^2+bx+6$ имеют две точки пересечения, что невозможно по условию задачи $$ D=(b+9)^2-4\cdot 24\cdot 6=0 $$ Решаем уравнение и получаем $$ b=15,\ b=-33 $$ $$ x_0=\frac{-(b+9)\pm 0}{2\cdot 24} $$ По условию задачи $x_0<0$, это выполняется только тогда, когда $$ b=15 $$
Ответ: 15.