Задание
На рисунке изображен график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определенной на интервале (-2;11). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y=-2x-5$ или совпадает с ней.
Решение
Касательная к функции $f(x)$ в точке $x_0$ является прямой, которая задается уравнением $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) $$ По условию, касательная параллельна прямой $y=-2x-5$. Две прямые параллельны, когда равны значения их угловых коэффициентов, поэтому прямые $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ и $y=-2x-5$ параллельны только тогда, когда $$ f'(x_0)=-2 $$ Взглянем на график. Нам нужно найти такие точки $x_0$, что $f'(x_0)=-2$. На представленном графике, на интервале (-2;11) таких точек 6 штук.
Ответ: 6.