ЕГЭ по математике задание С1 ЗАДАЧКА 17

Задание

Решите уравнение $$ \sqrt{\dfrac{\pi^2}{16}-x^2}(\cos 5x -\cos 4x + \cos 3x)=0 $$

Решение

ОДЗ: $\frac{\pi^2}{16}-x^2\geq0\ \Leftrightarrow \ |x|\leq \frac{\pi}{4}$
Вместо исходного уравнения, можно решать уравнения $$ \sqrt{\frac{\pi^2}{16}-x^2}=0,\ \ \cos 5x -\cos 4x + \cos 3x=0 $$ Решением уравнения $\sqrt{\frac{\pi^2}{16}-x^2}=0$ является $$ x=\pm\frac{\pi}{4} $$ Второе уравнение можно упростить при помощи формулы суммы косинусов $$ 2\cos \frac{5x+3x}{2} \cos \frac{5x-3x}{2}-\cos 4x=0 $$ Откуда $$ \cos 4x(2 \cos x -1)=0 $$ Из уравнения $\cos 4x=0$ следует, что $$ x=\pm\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2} $$ Из уравнения $2 \cos x-1=0$ следует, что $$ x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n $$ Из всех этих значений $x$ под ОДЗ подходят только $$x=\pm\frac{\pi}{8},\ x=\pm\frac{\pi}{4}$$
Ответ: $\pm\frac{\pi}{8}$, $\pm\frac{\pi}{4}$

Категория: 


© Открытый банк заданий ЕГЭ | Контакты: admin @ bankege.ru