Задание
Решите уравнение $$\sqrt{-2x^2+\pi x}\cdot\sqrt{\sqrt{3}\cos x-\sin x}=0$$Решение
ОДЗ: $ \left\{\begin{gather} -2x^2+\pi x \geq 0 \\ \sqrt{3}\cos x-\sin x \geq 0 \end{gather}\right.\ \Leftrightarrow\ \left\{\begin{aligned} &x\in[0;\frac{\pi}{2}] \\ &\sqrt{3}\cos x-\sin x \geq 0 \end{aligned}\right.$ 1) Рассматриваем случай $\sqrt{-2x^2+\pi x}=0$:
Если $\sqrt{-2x^2+\pi x}=0$, то тогда $$ x(\pi-2x)=0 $$ Откуда $$ x=0\in\text{ОДЗ},\ \ x=\frac{\pi}{2}\notin\text{ОДЗ} $$
2) Рассматриваем случай $\sqrt{\sqrt{3}\cos x-\sin x}=0$:
Если $\sqrt{\sqrt{3}\cos x-\sin x}=0$, то тогда $$ \sqrt{3}\cos x-\sin x=0 $$ Поделим уравнение на $2$ и получим $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=0 $$ Перепишем уравнение в виде $$ \sin\frac{\pi}{3}\cos x-\cos\frac{\pi}{3}\sin x=0 $$ Используя формулу синуса суммы, получаем $$ \sin(x-\frac{\pi}{3})=0 $$ Откуда без учета ОДЗ $$ x=\frac{\pi}{3}+\pi n $$ И, с учетом ОДЗ $$ x=\frac{\pi}{3} $$
Ответ: $0,\ \frac{\pi}{3}$.