Задание
Решите уравнение $$ \operatorname{arcsin} \sqrt{3x-2}=\operatorname{arcctg} \sqrt{2x-2} $$Решение
Функция $\operatorname{arcsin} \sqrt{3x-2}$ монотонно возрастает, а функция $\operatorname{arcctg} \sqrt{2x-2}$ монотонно убывает. Следовательно, у уравнения только одно решение, но находить его методом подбора сложно. Если у уравнения только одно решение, то тогда одновременно $$\operatorname{arcsin} \sqrt{3x-2}=a,\ \operatorname{arcctg} \sqrt{2x-2}=a$$ Откуда $$ 3x-2=\sin^2 a,\ 2x-2=\operatorname{ctg}^2 a $$ Откуда $$ x=\dfrac{\sin^2 a+2}{3}=\dfrac{\operatorname{ctg}^2 a+2}{2} $$ Методом угадывания определяем, что тождество будет выполняться при $a=\frac{\pi}{2}$. Откуда получаем ответ $$ x=\dfrac{\sin^2 \frac{\pi}{2}+2}{3}=1 $$
Ответ: 1.