Задание
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} y\sqrt{4y^2-9x^2}=0 \\ x+y+\sqrt{4y^2-9x^2}=\dfrac{5}{2} \end{gather}\right.$$Решение
ОДЗ: $4y^2-9x^2\geq0$ 1) Решаем уравнение $y\sqrt{4y^2-9x^2}=0$:
Из первого уравнения системы следует, что либо y=0, что не подходит под ОДЗ, либо $$ \sqrt{4y^2-9x^2}=0 $$ Откуда $$ 4y^2=9x^2 $$ Откуда $$ \frac{3}{2}|x|=|y| $$
2) Решаем уравнение $x+y+\sqrt{4y^2-9x^2}=\dfrac{5}{2}$ при $\frac{3}{2}|x|=|y|$:
Перепишем второе уравнение системы с учетом того, что $\sqrt{4y^2-9x^2}=0$ $$ x+y=\frac{5}{2} $$ Если знаки $x$ и $y$ совпадают, то тогда $y=\frac{3}{2}x$, так что $$ x+\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}\ \Rightarrow\ x=1,\ y=\frac{3}{2} $$ Если знаки $x$ и $y$ различны, то тогда $y=-\frac{3}{2}x$, так что $$ x-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}\ \Rightarrow\ x=-5,\ y=\frac{15}{2} $$ Оба ответа подходят под ОДЗ.
Ответ: $(1;\frac{3}{2}),\ (-5,\frac{15}{2})$.
Аналогичные задачки
- Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} x^2\sqrt{25x^2-9y^2}=0 \\ \dfrac{x}{3}+y-\sqrt{25x^2-9y^2}=6 \end{gather}\right.$$