Задание
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} \dfrac{\sin x}{\sin y}=1 \\ x-y=\dfrac{\pi}{3} \end{gather}\right.$$Решение
ОДЗ: $\sin y\neq0$ 1) Находим $y$:
Подставляем второе уравнение в первое $$ \sin (\frac{\pi}{3}+y)=\sin y $$ Откуда $$ \frac{\pi}{3}+y=(-1)^n \cdot y+\pi n $$ Откуда $$ y(1-(-1)^n)=-\frac{\pi}{3}+\pi n $$ Откуда $$ y=\dfrac{\pi(3n-1)}{3(1-(-1)^n)} $$ Для того, чтобы не было деления на 0, нужно, чтобы $n$ было нечетным. Пусть $n=2k+1$, тогда $$ y=\frac{\pi(3(2k+1)-1)}{3\cdot2}=\frac{\pi(3k+1)}{3} $$ Нарисовав тригонометрический круг, можно убедиться, что все такие значения $y$ удовлетворяют ОДЗ.
2) Находим $x$:
С учетом того, что $x=y+\frac{\pi}{3}$ $$ x=\frac{\pi(3k+1)}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi(3k+2)}{3} $$
Ответ: $(\frac{\pi(3k+2)}{3},\frac{\pi(3k+1)}{3}),\ k\in N$.