Задание
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} \sqrt{1+y-\cos x}+\sqrt{2}\sin x=0 \\ y=2\cos x \end{gather}\right.$$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} 1+y-\cos x\geq 0 \\ \sin x\leq0 \end{gather}\right. $ 1) Находим $x$:
Подставляем второе уравнение системы в первое $$ \sqrt{1+2\cos x-\cos x}=-\sqrt{2}\sin x $$ Возводим в квадрат правую и левую части уравнения $$ 1+\cos x=2\sin^2x $$ Делаем замену $t=\cos x$ $$ 1+t=2(1-t^2) $$ Решаем квадратное уравнение и делаем обратную замену $$ \cos x=-1,\ \cos x=\frac{1}{2} $$ Откуда $$x=\pi+2\pi n,\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n $$ При значениях $x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$, $\sin x$ оказывается больше 0 и не подходит под ОДЗ, так что эти значения исключаются из ответа.
2) Находим $y$:
С учетом того, что $y=2\cos x$, получаем $$ y=-2,\ y=1 $$
Ответ: $(\pi+2\pi n; -2)$, $(-\frac{\pi}{3}+2\pi n, 1)$.
Аналогичные задачки
- Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} \sqrt{-\cos^2 x+y^2-3}=\sin x \\ 4\sin x=y \end{gather}\right.$$
- Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} \sqrt{\sin^2 y+\cos 2y +x^2-9}=\cos y \\ 3\cos y=x \end{gather}\right.$$