Задание
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} -x^2+x-\sqrt{-x^2+x+6}=-4 \\ \sqrt{2}\cos y=x \end{gather}\right.$$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} -x^2+x+6\geq0 \\ -x^2+x+4\geq0 \end{gather}\right.\ \Leftrightarrow \ x\in[0.5-\frac{\sqrt{17}}{2},\ 0.5+\frac{\sqrt{17}}{2}]$ 1) Находим $x$:
Переписываем первое уравнение системы в виде $$ (-x^2+x+6)-\sqrt{-x^2+x+6}=2 $$ Делаем замену $t=\sqrt{-x^2+x+6}$ и получаем $$t^2-t-2=0$$ Откуда $$ t=-1,\ t=2 $$ Откидываем решение $t=-1$, потому что $t\geq0$. Делаем обратную замену $$ \sqrt{-x^2+x+6}=2 $$ Откуда $$ x=-1,\ x=2 $$
2) Находим $y$:
Из второго уравнения системы $$ \sqrt{2}\cos y=-1,\ \sqrt{2}\cos y=2 $$ Откуда $$ \cos y=-\frac{1}{\sqrt{2}},\ \cos y=\sqrt{2} $$ Откидываем второе уравнение, потому что косинус не может быть больше 1. Получаем $$ y=\pm(\pi-\frac{\pi}{4})+2\pi n=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n $$
Ответ: $(-1;\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n)$.
Аналогичные задачки
- Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} -x^2+4x+2\sqrt{4x-x^2+5}=10 \\ 2\sin y=x \end{gather}\right.$$
- Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} 2\cos^2x+7\sin x=5 \\ \sin x\sin y=-\dfrac{\sqrt{2}}{4} \end{gather}\right.$$
- Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} 2\cos^2x+1=2\sqrt{2}\sin x \\ \sin x\cos y=0.5 \end{gather}\right.$$