Задание
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} \cos^2x+3\sin^2x=\sqrt{3}\cos x \\ y+3\sqrt{3}\cos x=\dfrac{3}{2} \end{gather}\right.$$Решение
1) Находим $x$:
Переписываем первое уравнение в виде $$ 1+2(1-\cos^2x)=\sqrt{3}\cos x $$ Делаем замену $t=\cos x$ и получаем $$ 3-2t^2=\sqrt{3}t $$ Решаем квадратное уравнение и делаем обратную замену $$ \cos x=-\sqrt{3},\ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2} $$ Откидываем левое уравнение, так как косинус не может быть меньше -1. Из правого уравнения получаем $$ x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n $$
2) Находим $y$:
Из второго уравнения системы $$ y=\dfrac{3}{2}-3\sqrt{3}\cdot\cos x=\dfrac{3}{2}-3\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-3 $$
Ответ: $(\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n;-3)$.