Задание
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} \cos^2 x-y\cos x+y^2=3 \\ \cos x-y=1 \end{gather}\right.$$Решение
1) Находим $y$:
Перепишем первое уравнение системы в виде $$ \cos^2 x-2y\cos x+y^2+y\cos x=3 $$ Откуда $$ (\cos x-y)^2+y\cos x=3 $$ Откуда, с учетом того, что $\cos x-y=1$, получаем $$ 1+y\cos x=3 $$ Делаем подстановку из второго уравнения $\cos x=y+1$ и получаем $$ y(y+1)=2 $$ Откуда $$ y=-2,\ y=1 $$
2) Находим $x$:
С учетом того, что $\cos x-1=y$, получаем $$ \cos x-1=-2,\ \cos x-1=1 $$ Правое уравнение откидывается, потому что $\cos x$ не может быть больше 1. Из левого уравнения следует, что $$ x=\pi+2\pi n $$
Ответ: $(\pi+2\pi n;-2)$.
Аналогичные задачки
- Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} \cos y+2x=2 \\ \dfrac{5}{\cos y}-2x=4 \end{gather}\right.$$
- Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} \sin x+2y=3 \\ \dfrac{2}{\sin x}-y=1 \end{gather}\right.$$
- Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} \sin^2x+y\sin x+y^2=13 \\ \sin x+y=4 \end{gather}\right.$$