Задание
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} \cos^2x-y\cos x+y^2=3 \\ \cos^3x+y^3=9 \end{gather}\right.$$Решение
1) Находим $y$:
Домножаем правую и левую части первого уравнения на $(\cos x+y)$ и получаем $$ (\cos x+y)\cdot(\cos^2x-y\cos x+y^2)=(\cos x+y)\cdot3$$ Применяем к левой части уравнения формулу суммы кубов $$ \cos^3x+y^3=(\cos x+y)\cdot3 $$ Так как $\cos^3x+y^3=9$, получаем $$ 9=(\cos x+y)\cdot3 $$ Откуда $$ \cos x=3-y $$ Подставляем это в первое уравнение системы и получаем $$ (3-y)^2-y(3-y)+y^2=3 $$ Откуда $$ y=1,\ y=2 $$
2) Находим $x$:
С учетом того, что $\cos x=3-y$, получаем $$ \cos x=3-1,\ \cos x=3-2 $$ Отбрасываем левое уравнение, потому что косинус не может быть больше 1. Из правого уравнения следует, что $$ x=2\pi n $$
Ответ: $(2\pi n;2)$.