Задание
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} \sin^2 x+\sin^2 2x=\sin^2 3x \\ \cos x<-\frac{1}{2} \end{gather}\right.$$Решение
1) Решаем первое уравнение системы:
Переписываем первое уравнение системы в виде $$ \sin^2 3x-\sin^2x-\sin^22x=0 $$ Раскладываем первые два члена по формуле разности квадратов $$ (\sin 3x-\sin x)(\sin 3x+\sin x)-\sin^22x=0 $$ Используем формулы разности и суммы синусов $$ (2\cdot \cos 2x\cdot\sin x)\cdot (2\cdot \sin2x\cdot \cos x)-\sin^22x=0 $$ Перегруппируем слагаемые $$ (2\cdot \sin x\cdot\cos x)\cdot 2\cdot \sin2x\cdot \cos 2x-\sin^22x=0 $$ Используем формулу синуса двойного угла на левой скобке $$ \sin 2x\cdot 2\cdot \sin2x\cdot \cos 2x-\sin^22x=0 $$ Выносим за скобки $\sin^2 2x$ $$ \sin^2 2x\cdot (2\cos 2x-1)=0 $$ Откуда $$ x=\frac{\pi\cdot k}{2},\ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi\cdot m $$
2) Получаем решение с учетом ограничения $\cos x<-\frac{1}{2}$:
С учетом ограничения $\cos x<-\frac{1}{2}$, от решений $ x=\frac{\pi\cdot k}{2},\ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi\cdot m $ остается $$ x=\pi+2\pi k,\ x=\pi\pm\frac{\pi}{6}+2\pi m $$
Ответ: $ \pi+2\pi k,\ \pi\pm\frac{\pi}{6}+2\pi m $.
См. также
- Обсуждение задачки на форуме ucheba.pro