Задание
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} \cos^3 x-\sin^3x=\cos 2x \\ 0\le x\le \frac{3\pi}{2} \end{gather}\right.$$Решение
1) Решаем первое уравнение системы:
Раскрываем разницу третьих степеней по формуле разности кубов, а также расписываем косинус двойного угла $$ (\cos x-\sin x)\cdot (\cos^2 x+\cos x\cdot\sin x+\sin^2 x)=\cos^2 x-\sin^2 x $$ Раскрываем правую часть равенства по формуле разности квадратов, упрощаем левую часть равенства формулой $ \sin^2x+\cos^2 x=1 $ $$ (\cos x-\sin x)\cdot (1+\cos x\cdot\sin x)=(\cos x-\sin x)\cdot (\cos x+\sin x) $$ Переносим правую часть равенства налево и выносим $\cos x-\sin x$ $$ (\cos x-\sin x)\cdot (1+\cos x\cdot\sin x-\cos x-\sin x)=0 $$ Группируем слагаемые в правой скобке $$ (\cos x-\sin x)\cdot (1-\sin x+\cos x\cdot(\sin x-1))=0 $$ Выносим $\sin x-1$ в правой скобке $$ (\cos x-\sin x)\cdot(\sin x-1)\cdot(\cos x-1)=0 $$ Откуда $$ x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ x=\frac{(-1)^n\pi}{2}+\pi n ,\ x=2\pi m $$
2) Получаем решения с учетом ограничения $0\le x\le \frac{3\pi}{2}$:
С учетом ограничения $0\le x\le \frac{3\pi}{2}$, от решений, полученный на предыдущем шаге, остается $$ x=0,\ x=\frac{\pi}{2},\ x=\frac{\pi}{4},\ x=\frac{5\pi}{4} $$
Ответ: $ 0,\ \frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4} $
См. также
- Обсуждение задачки на форуме ucheba.pro