Задание
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{gather} x\cdot \operatorname{tg} y=9 \\ x\cdot \operatorname{ctg} y=3 \end{gather}\right.$$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} \sin x\neq0 \\ \cos x\neq0 \end{gather}\right.$
Умножаем первое и второе уравнения друг на друга, получаем $$ x\cdot \operatorname{tg} y\cdot x\cdot \operatorname{ctg} y=27 $$ Сокращаем тангенс и котангенс, извлекаем корень $$ x=\pm3\sqrt{3} $$ Подставляем такой $x$ в первое уравнение и получаем $$ \operatorname{tg} y=\pm\sqrt{3} $$ Откуда $$ y=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$ Подставляем эти решения во второе уравнение системы и убеждаемся в том, что они удовлетворяют и ему.
Ответ: $\pm3\sqrt{3},\ \pm\frac{\pi}{3}+\pi n$.
См. также
- Обсуждение задачки на форуме ucheba.pro