ЕГЭ по математике задание С1 ЗАДАЧКА 55

Задание

Решите систему уравнений $$ \left\{\begin{gather} \cos (x+y)=-0.5 \\ \sin x+\sin y=\sqrt{3} \end{gather}\right. $$

Решение

Избавляемся от косинуса в первом уравнении и получаем $$ x+y=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n $$ Применяем формулу суммы синусов к второму уравнению $$ 2\cdot\sin\frac{x+y}{2}\cdot\cos\frac{x-y}{2}=\sqrt{3} $$
1) Рассматриваем случай $x+y=+\frac{2\pi}{3}+2\pi n$
В этом случае, второе уравнение системы приобретает вид $$ 2\cdot\sin (\frac{\pi}{3}+\pi n) \cdot\cos\frac{x-y}{2}=\sqrt{3} $$ При четных n, это уравнение приобретает вид $$ \cos\frac{x-y}{2}=1 $$ Откуда $$ x-y=4\pi m $$ При нечетных n, это уравнение приобретает вид $$ \cos\frac{x-y}{2}=-1 $$ Откуда $$ x-y=2\pi+4\pi m $$
2) Рассматриваем случай $x+y=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k$
В этом случае, второе уравнение системы приобретает вид $$ 2\cdot\sin (-\frac{\pi}{3}+\pi k) \cdot\cos\frac{x-y}{2}=\sqrt{3} $$ При четных k, это уравнение приобретает вид $$ \cos\frac{x-y}{2}=-1 $$ Откуда $$ x-y=2\pi+4\pi r $$ При нечетных k, это уравнение приобретает вид $$ \cos\frac{x-y}{2}=1 $$ Откуда $$ x-y=4\pi r $$
3) Решаем получившиеся системы уравнений:
У нас получились 4 системы уравнений $$\left\{\begin{gather} x+y=+\frac{2\pi}{3}+2\pi n \\ x-y=4\pi m \end{gather}\right.,\ \text{n — четное}$$ $$ \left\{\begin{gather} x+y=+\frac{2\pi}{3}+2\pi n \\ x-y=2\pi+4\pi m \end{gather}\right.,\ \text{n — нечетное} $$ $$\left\{\begin{gather} x+y=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \\ x-y=2\pi+4\pi r \end{gather}\right.,\ \text{k — четное}$$ $$\left\{\begin{gather} x+y=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k \\ x-y=4\pi r \end{gather}\right.,\ \text{k — нечетное} $$ Решаем каждую из них и получаем $$ \left\{\begin{gather} x=\frac{\pi}{3}+2\pi m+\pi n \\ y=\frac{\pi}{3}-2\pi m+\pi n \end{gather}\right.,\ \text{n — четное} $$ $$ \left\{\begin{gather} x=\frac{4\pi}{3}+2\pi m+\pi n \\ y=\frac{-2\pi}{3}-2\pi m+\pi n \end{gather}\right.,\ \text{n — нечетное} $$ $$ \left\{\begin{gather} x=\frac{2\pi}{3}+\pi k+2\pi r \\ y=\frac{-4\pi}{3}+\pi k-2\pi r \end{gather}\right.,\ \text{k — четное} $$ $$ \left\{\begin{gather} x=\frac{-\pi}{3}+\pi k+2\pi r \\ y=\frac{-\pi}{3}+\pi k-2\pi r \end{gather}\right.,\ \text{k — нечетное} $$

См. также

  1. Обсуждение задачки на форуме ucheba.pro

Категория: 

© 2011-2014, Bankege.ru