Задание
Решите систему уравнений $$ \left\{\begin{gather} \sqrt{4\sin^2 x-1}\cdot \log_{\sin x} (\frac{y-5}{2y-1})=0 \\ y\cdot \cos x\cdot \lg(25-x^2)=0 \end{gather}\right. $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} \sin x\in[0.5;1) \\ y\in(-\infty;0.5)\cup[5;+\infty) \\ |x|<5 \end{gather}\right.$ 1) Решаем второе уравнение системы:
Второе уравнение системы равно 0 тогда, когда $y=0$, либо $\cos x=0$, либо $\lg(25-x^2)=0$. Вариант $y=0$ рассматривается во втором пункте решения. Вариант $\cos x=0$ отбрасываются из-за ОДЗ. Из уравнения $\lg(25-x^2)=0$ получаем, что $$25-x^2=1$$ Откуда $$ x=\pm2\sqrt{6} $$
2) Рассматриваем вариант y=0:
Если $y=0$, первое уравнение системы выполняется при $$ \sqrt{4\sin^2 x-1}=0 $$ Решаем это уравнение и получаем $$ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n $$
3) Решаем первое уравнение системы:
Первое уравнение системы равно 0 тогда, когда $\sqrt{4\sin^2 x-1}=0$, либо $\log_{\sin x} (\frac{y-5}{2y-1})=0$. При $x=\pm2\sqrt{6}$ выражение $\sqrt{4\sin^2 x-1}=0$ никогда не обращается в верное тождество, поэтому этот вариант отбрасывается. При этом, выражение $\log_{\sin (\pm2\sqrt{6})} (\frac{y-5}{2y-1})=0$ превращается в тождество тогда, когда $$ \frac{y-5}{2y-1}=1 $$ Решаем это уравнение и получаем $$ y=-4 $$
Ответ: $(\pm\frac{\pi}{6}+\pi n, 0),\ (\pm2\sqrt{6},-4)$.
См. также
- Обсуждение задачки на форуме ucheba.pro