ЕГЭ по математике задание С1 ЗАДАЧКА 58

Задание

Решите систему уравнений $$ \left\{\begin{gather} 2^{\cos x}+2^{\tfrac{1}{\cos y}}=5 \\ 2^{\cos x+\tfrac{1}{\cos y}}=4 \end{gather}\right. $$

Решение

ОДЗ: $\cos y\neq0$
Переписываем систему в виде $$ \left\{\begin{gather} 2^{\cos x}+2^{\tfrac{1}{\cos y}}=5 \\ 2^{\cos x}\cdot2^{\tfrac{1}{\cos y}}=4 \end{gather}\right. $$ Делаем замены $u=2^{\cos x},\ v=2^{\tfrac{1}{\cos y}}$, получаем $$ \left\{\begin{gather} u+v=5 \\ uv=4 \end{gather}\right. $$ Откуда $$ \left\{\begin{gather} 2^{\cos x}=1,\ 2^{\tfrac{1}{\cos y}}=4 \\ 2^{\cos x}=4,\ 2^{\tfrac{1}{\cos y}}=1 \end{gather}\right. $$ Из варианта $2^{\cos x}=1,\ 2^{\tfrac{1}{\cos y}}=4$ следует, что $$ x=\pm\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ y=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k $$ Вариант $2^{\cos x}=4,\ 2^{\tfrac{1}{\cos y}}=1$ откидывается из-за не имеющего решений уравнения $ 2^{\tfrac{1}{\cos y}}=1 $
Ответ: $\pm\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi k$.

Категория: 

© 2011-2014, Bankege.ru