ЕГЭ по математике задание С1 ЗАДАЧКА 60

Задание

Решите систему уравнений $$ \left\{\begin{gather} (\sqrt{3}\cdot\sin x+\cos x)(2\cos^2y+4\sin y+1)=10 \\ xy=\frac{\pi^2}{6} \end{gather}\right. $$

Решение

Переписываем первое уравнение системы в виде $$ 2\cdot(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x)\cdot(2\cdot(1-\sin^2y)+4\sin y+1)=10 $$ Используем формулу синуса суммы с учетом того, что $\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos\frac{\pi}{6}$ и $\frac{1}{2}=\sin\frac{\pi}{6}$ $$2\cdot\sin(x+\frac{\pi}{6})\cdot(4\sin y -2\sin^2y+3)=10 $$ Обращаем внимание на то, что $-1\leq\sin(x+\frac{\pi}{6})\leq1$. Также обращаем внимание на то, что парабола $f(y)=4\sin y -2\sin^2y+3$ имеет максимальное значение 5, которое она достигает при значении $\sin y=1$. Следовательно, первое уравнение решаемой системы имеет решение только при $$ \left\{\begin{gather} \sin(x+\frac{\pi}{6})=1 \\ 4\sin y -2\sin^2y+3=5 \end{gather}\right. $$ Решаем эти уравнения и получаем $$ \left\{\begin{gather} x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \\ y=\frac{\pi}{2}+2\pi n \end{gather}\right. $$ С учетом ограничения $xy=\frac{\pi^2}{6}$ получаем единственный ответ $$ \left\{\begin{gather} x=\frac{\pi}{3} \\ y=\frac{\pi}{2} \end{gather}\right. $$
Ответ: $(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})$.

См. также

  1. Обсуждение задачки на форуме ucheba.pro

Категория: 

© 2011-2014, Bankege.ru