ЕГЭ по математике задание С1 ЗАДАЧКА 61

Задание

Решите систему уравнений $$ \left\{\begin{gather} x^2=4+\log_2y \\ y^2=-y\cdot 2^x+20\cdot2^{2x} \end{gather}\right. $$

Решение

ОДЗ: $y>0$ 1) Решаем второе уравнение системы:
Делаем подстановку $2^x=t,\ t>0$ и получаем $$ y^2=-y\cdot t+20\cdot t^2 $$ Решаем это уравнение как квадратное относительно $t$ и получаем два корня $$ t_1=\frac{y}{4},\ t_2=-\frac{y}{5} $$ Корень $t_2=-\frac{y}{5}$ откидывается по причине того, что $y>0$ и $t>0$. Делаем обратную замену $$ 2^x=\frac{y}{4} $$
2) Решаем первое уравнение системы:
Подставляем в первое уравнение системы $y=4\cdot 2^x$ $$ x^2=4+\log_2(4\cdot 2^x) $$ Избавляемся от логарифма $$ x^2=4+x+2 $$ Решаем квадратное уравнение и получаем $$ x=-2,\ x=3 $$ Используя уравнение $y=4\cdot 2^x$, находим соответствующие $y$ $$ y=1,\ y=32 $$ Подставляем эти решения в исходную систему и убеждаемся в том, что они являются решениями.
Ответ: (-2,1), (3,32).

См. также

  1. Обсуждение задачки на форуме ucheba.pro

Категория: 

© 2011-2014, Bankege.ru