Задание
Решите уравнение $$ \dfrac{9}{x^3-27}+\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{3}{x^2+3x+9}=0 $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} x^3-27\neq0 \\ x-3\neq0 \\ x^2+3x+9\neq0 \end{gather}\right. \ \Leftrightarrow \ x\neq3$
Используя формулу разности кубов, переписываем исходное уравнение в виде $$ \dfrac{9}{(x-3)(x^2+3x+9)}+\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{3}{x^2+3x+9}=0 $$ Приводим уравнение к общему знаменателю $$ \dfrac{9+(x^2+3x+9)+3(x-3)}{(x-3)(x^2+3x+9)}=0 $$ Отбрасываем знаменатель и упрощаем числитель $$ x^2+6x+9=0 $$ Откуда получаем единственный ответ $$ x=-3 $$
Ответ: $x=-3$.