Задание
Решите уравнение $$ \dfrac{-15}{x^3+8}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{3}{x^2-2x+4}=0 $$Решение
ОДЗ: $\left\{\begin{gather} x^3+8\neq0 \\ x+2\neq0 \\ x^2-2x+4\neq0 \end{gather}\right. \ \Leftrightarrow \ x\neq-2$.
Используя формулу суммы кубов, переписываем уравнение в виде $$ \dfrac{-15}{(x+2)(x^2-2x+4)}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{3}{x^2-2x+4}=0 $$ Приводим все уравнение к общему знаменателю: $$ \dfrac{-15+(x^2-2x+4)+3(x+2)}{(x+2)(x^2-2x+4)}=0 $$ Отбрасываем ненужный знаменатель, упрощаем числитель и получаем $$ x^2+x-5=0 $$ Откуда $$ x=\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2} $$
Ответ: $\frac{-1\pm\sqrt{21}}{2}$.