Задание
В правильной шестиугольной призме $A...F_1$ все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $DB_1F_1$.
Дано
- $A...F_1$ — правильная шестиугольная призма все ребра которой равны 1
- $ABC$ и $DB_1F_1$ — плоскости
- тангенс угла между $ABC$ и $DB_1F_1$ — ?
Решение
1) Выясняем, какой, собственно, угол нам нужно искать:
- Нам нужно найти угол между плоскостями $ABC$ и $DB_1F_1$.
- Обращаем внимание на плоскость $B_1C_1D_1$. Плоскость $B_1C_1D_1$ параллельна плоскости $ABC$, следовательно, угол между плоскостями $B_1C_1D_1$ и $DB_1F_1$ равен углу между плоскостями $ABC$ и $DB_1F_1$.
- Обращаем внимание на то, что плоскости $B_1C_1D_1$ и $DB_1F_1$ пересекаются по прямой $B_1F_1$.
- Строим плоскость $DMD_1$ так, чтобы она была перпендикулярна прямой $B_1F_1$.
- Обращаем внимание на то, что плоскости $DB_1F_1$ и $DMD_1$ пересекаются по прямой $DM$.
- Обращаем внимание на то, что плоскости $B_1C_1D_1$ и $DMD_1$ пересекаются по прямой $D_1M$.
- По определению, углом между плоскостями $B_1C_1D_1$ и $DB_1F_1$ будет угол $DMD_1$.
По свойствам правильной шестиугольной призмы $$ DD_1=1,\ A_1D_1=2,\ A_1M=\frac{1}{2},\ MD_1=A_1D_1-A_1M=\frac{3}{2},\ \angle DD_1M=90^{\circ} $$ Из прямоугольного треугольника $DD_1M$ $$ \operatorname{tg} DMD_1=\frac{DD_1}{MD_1}=\frac{2}{3} $$
Ответ: $\frac{2}{3}$.