Задание
В единичном кубе $A...D_1$ найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BD_1$.
Дано
- $A...D_1$ — единичный куб
- $A$ — точка
- $BD_1$ — прямая
- расстояние от $A$ до $BD_1$ — ?
Решение
1) Выясняем, какое, собственно, расстояние нам нужно искать:
- Нам нужно найти расстояние от точки $A$ до прямой $BD_1$.
- Проводим прямую $AE$ так, чтобы угол $AED_1$ был равен 90 градусам.
- Для дальнейшего удобства, строим прямые $AD_1$ и $AB$.
- По определению, искомым расстоянием будет расстояние $AE$.
По свойствам куба $$ AD_1=\sqrt{2}\cdot 1,\ BD_1=\sqrt{3}\cdot 1,\ AB=1 $$ Угол $D_1EA$ равен 90 градусам по построению прямой $AE$. Угол $D_1AB$ равен 90 градусам потому, что плоскости $ADD_1$ и $ABC$ перпендикулярны. Из прямоугольного треугольника $AD_1B$ $$ \sin AD_1B=\frac{AB}{BD_1} $$ Из прямоугольного треугольника $AED_1$ $$ \sin AD_1B=\frac{AE}{AD_1} $$ Приравниваем правые части уравнений друг другу $$ \frac{AE}{AD_1}=\frac{AB}{BD_1} $$ Выражаем из уравнения $AE$ и получаем $$ AE=AD_1\cdot \frac{AB}{BD_1}=\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.