Задание
В правильной шестиугольной призме $A...F_1$ все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$.
Дано
- $A...F_1$ — правильная шестиугольная призма все ребра которой равны 1
- $B$ — точка
- $AD_1$ — прямая
- расстояние от $B$ до $AD_1$ — ?
Решение
1) Выясняем, какое, собственно, расстояние нам нужно искать:
- Нам нужно найти расстояние от точки $B$ до прямой $AD_1$.
- Проводим прямую $BH$ так, чтобы угол $BHD_1$ был равен 90 градусам.
- Для дальнейшего удобства, строим прямые $AB$ и $BD_1$.
- По определению, искомым расстоянием будет расстояние $BH$.
По свойствам правильной шестиугольной призмы $$ BD_1=2\cdot1,\ AD_1=\sqrt{5}\cdot 1 $$ Угол $BHD_1$ равен 90 градусам по построению прямой $BH$. Угол $ABD_1$ равен 90 градусам потому, что плоскости $BDD_1$ и $ABC$ перпендикулярны. Из прямоугольного треугольника $ABD_1$ $$ \sin AD_1B=\frac{AB}{AD_1} $$ Из прямоугольного треугольника $HBD_1$ $$ \sin AD_1B=\frac{HB}{BD_1} $$ Приравниваем правые части этих двух уравнений $$ \frac{AB}{AD_1}=\frac{HB}{BD_1} $$ Выражаем и вычисляем длину $HB$ $$ HB=BD_1\cdot\frac{AB}{AD_1}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}} $$
Ответ: $\frac{2}{\sqrt{5}}$.