Задание
В правильной шестиугольной призме $A...F_1$ все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $DEF_1$.Дано
- $A...F_1$ — правильная шестиугольная призма
- $A$ — точка
- $DEF_1$ — плоскость
- расстояние от $A$ до $DEF_1$ — ?
Решение
1) Выясняем, какое, собственно, расстояние нам нужно искать:- Нам нужно найти расстояние от точки $A$ до плоскости $DEF_1$.
- Опускаем на плоскость $DEF_1$ перпендикуляр $AH$. Так как $AH$ является перпендикуляром, $\angle AHE=90^{\circ}$.
- Для дальнейшего удобства, строим прямые $AG$, $A_1E_1$, $AE$.
- Расстоянием между точкой $A$ и плоскостью $DEF_1$ будет расстояние $AH$.
По свойствам правильной шестиугольной призмы $$ AE=\sqrt{3}\cdot1,\ \ A_1G=GE_1=\frac{AE}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2},\ AA_1=1 $$ Из прямоугольного треугольника $AGA_1$ $$ AG=\sqrt{AA_1^2+A_1G^2}=\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2} $$ Из прямоугольного треугольника $EGE_1$ $$ EG=\frac{\sqrt{7}}{2} $$ Полупериметр треугольника $AGE$ равен $$ p=\frac{AG+AE+EG}{2}=\frac{\tfrac{\sqrt{7}}{2}+\sqrt{3}+\tfrac{\sqrt{7}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2} $$ По формуле Герона $$ S_{AGE}=\sqrt{p(p-AG)(p-AE)(p-EG)}=\sqrt{\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $$ По свойствам треугольника $$ S_{AGE}=0.5\cdot GE\cdot AH $$ Откуда $$ AH=\frac{S_{AGE}}{0.5\cdot GE}=\frac{\tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{2\sqrt{21}}{7} $$
Ответ: $\frac{2\sqrt{21}}{7}$.