Задание
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $CA_1$.
Дано
- $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма все ребра которой равны 1
- $AB$ и $CA_1$ — скрещивающиеся прямые
- угол между $AB$ и $CA_1$ — ?
Решение
1) Выясняем, какой, собственно, угол нам нужно искать:
- Прямые $AB$ и $CA_1$ — скрещивающиеся. Нам нужно найти угол между этими двумя скрещивающимися прямыми.
- Отмечаем на кубе отрезок $A_1B_1$, параллельный отрезку $AB$.
- Прямые $A_1B_1$ и $CA_1$ — пересекающиеся, наименьшим углом между ними является угол $CA_1B_1$.
- Так как прямая $A_1B_1$ параллельна отрезку $AB$, угол $CA_1B_1$ является искомым углом между прямыми $AB$ и $CA_1$, который нам нужно найти по условию задачи.
По свойствам правильной треугольной призмы $$ A_1C=B_1C=\sqrt{2}\cdot 1 $$ По теореме косинусов из треугольника $A_1B_1C$ $$ B_1C^2=A_1B_1^2+A_1C^2-2\cdot A_1B_1\cdot A_1C\cdot \cos CA_1B_1 $$ Подставляем в уравнение известные нам значения $$ (\sqrt{2})^2=1^2+(\sqrt{2})^2-2\cdot 1\cdot \sqrt{2}\cdot \cos CA_1B_1 $$ Решаем уравнение и получаем $$ \cos CA_1B_1=\frac{1}{2\sqrt{2}} $$
Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{2}}$.