Задание
В основании правильной пирамиды SABCD лежит четырехугольник ABCD, площадь которого равна 30. Через точки B и S проходит сфера, которая пересекает ребро SC в точке M так, что SC:MC=4:3. Ребро BC перпендикулярно радиусу сферы, проходящему через точку B. Найдите объем пирамиды.
Дано
- $SABCD$ — правильная пирамида
- $S_{ABCD}=30$
- $SC:MC=4:3$
- Через точки B и S проходит сфера, которая пересекает ребро SC в точке M
- Ребро BC перпендикулярно радиусу сферы, проходящему через точку B
- $V_{ABCD}$ — ?
Решение
1) Находим AB, BC, CD, DA:
Так как пирамида SABCD правильная, четырехугольник ABCD в ее основании является квадратом. По условию, площадь ABCD равна 30. С учетом того, что площадь квадрата равна квадрату длины его стороны, получаем $$ AB=BC=CD=DA=\sqrt{30} $$
2) Находим SA, SB, SC, SD:
Рассматриваем грань SBC. Сфера пересекает эту грань в точках S, M и B по окружности q. Пусть центром окружности q является точка $O_1$. 
По условию, радиус сферы, проведенный к точке B, перпендикулярен прямой $BC$. Из этого следует, что прямая $O_1B$ также перпендикулярна прямой $BC$ и, кроме этого, окружность q и BC имеют только одну точку пересечения. Следовательно, BC является радиусом окружности q. По теореме о касательной и секущей окружности $$ BC^2=SC\cdot MC $$ С учетом того, что $BC=\sqrt{30}$ и $MC=\frac{3}{4}\cdot SC$, получаем $$ SC=\sqrt{40} $$
3) Находим SH:
По условию, радиус сферы, проведенный к точке B, перпендикулярен прямой $BC$. Из этого следует, что прямая $O_1B$ также перпендикулярна прямой $BC$ и, кроме этого, окружность q и BC имеют только одну точку пересечения. Следовательно, BC является радиусом окружности q. По теореме о касательной и секущей окружности $$ BC^2=SC\cdot MC $$ С учетом того, что $BC=\sqrt{30}$ и $MC=\frac{3}{4}\cdot SC$, получаем $$ SC=\sqrt{40} $$
Вычисляем $DB$, используя формулу длины диагонали квадрата $$ BD=BC\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{15} $$ Из прямоугольного треугольника $SHB$ $$ SH=\sqrt{SB^2-HB^2}=5 $$
4) Находим $V_{ABCD}$:
Вычисляем объем пирамиды, используя стандартную формулу объема пирамиды $$ V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SH=50 $$
Ответ: 50.
См. также
- Обсуждение задачки на форуме ucheba.pro