Задание
В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, боковые рёбра которой равны $2$, а стороны основания - $1$, найдите косинус угла между прямой $AC$ и плоскостью $SAF$.
Дано
- $SABCDEF$ — правильная шестиугольная пирамида, боковые рёбра которой равны $2$, а стороны основания - $1$
- $SAF$ — плоскость
- $AC$ — прямая
- угол между $AC$ и $SAF$ — ?
Решение
1) Выясняем, какой, собственно, угол нам нужно искать:
- Нам нужно найти угол между прямой $AC$ и плоскостью $SAF$.
- Стороим прямую $MN$ так, чтобы она была параллельна прямой $AC$ и проходила через центр $O$ основания пирамиды.
- Стороим прямые $SO$ и $SM$. Прямая $SM$ является проекцией прямой $MN$ на плосксть $SAF$.
- По определению, углом между прямой $AC$ и плоскостью $SAF$ будет угол $SMN$ между прямой $MN$ ее проекцией $SM$.
По построению прямой $MN$, точка $M$ является центром ребра $AF$. По свойствам правильной шестиугольной пирамиды $$ SO=\sqrt{2^2-1^2}=1,\ MO=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1,\ SM=\sqrt{2^2-\frac{1}{4}\cdot 1^2}=\frac{\sqrt{7}}{2} $$ Угол $SOM$ прямой, потому что прямая $SO$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Из прямоугольного треугольника $SOM$ $$ \cos SOM=\frac{MO}{SM}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} $$
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$