Задание
В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние от точки А до прямой $CE_1$.
Дано
- $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны $1$
- $CE_1$ — прямая
- $A$ — точка
- расстояние от $A$ и СЕ$_1$ — ?
Решение
1) Выясняем, какое, собственно, расстояние нам нужно искать:
- Нам нужно найти расстояние от точки $A$ до прямой $CE_1$.
- Стороим прямую $AM$ так, чтобы угол $AMC$ был равен $90$ градусам.
- Стороим прямые $AC$ и $AE_1$.
- По определению, расстоянием от точки $A$ до прямой $CE_1$ будет длина прямой $AM$.
По свойствам правильной шестиугольной призмы $$ AC=\sqrt{3}\cdot 1,\ AE_1=CE_1=2\cdot 1 $$ Угол $SOM$ прямой, потому что прямая $SO$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Полупериметр треугольника $ACE_1$ равен $$ p=\frac{AE_1+AC+CE_1}{2}=2+\frac{\sqrt{3}}{2} $$ По формуле Герона $$ S_{ACE_1}=\sqrt{p\cdot (p-AC)\cdot (p-AE_1)\cdot (p-CE_1)}=\sqrt{(2+\frac{\sqrt{3}}{2})\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (2-\frac{\sqrt{3}}{2})}=\frac{\sqrt{39}}{4} $$ По свойствам треугольника $$ S_{ACE_1}=0.5\cdot AM \cdot CE_1 $$ Откуда $$ AM=\frac{S_{ACE_1}}{0.5\cdot CE_1}=\frac{\sqrt{39}}{4} $$
Ответ: $\frac{\sqrt{39}}{4}$